## 麦克斯韦方程组法
首先，有必要复习一下麦克斯韦方程组：
$$
\begin{cases}
\nabla \cdot E=\frac{\rho}{\varepsilon _0}\\
\nabla \times E=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\\
\nabla \cdot B=0\\
\nabla \times B=\mu _0\boldsymbol{J}+\mu _0\varepsilon _0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\\
\end{cases}
$$
由上面的式子可推出电磁波中电矢量的偏微分方程，即亥姆霍兹方程:
$$
\nabla 2\boldsymbol{E}+k2\boldsymbol{E}=0
$$
对于均匀介质而言，一个标准解就是平面波$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{E_0}e^{-j \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}$。我们借用下图的结构对电磁波进行讨论。出于方便，我们选择了电矢量垂直于(senkrecht)平面的图。
对
于该图而言，可以很轻易地写出入射波、反射波与折射波的表达式：
$$
E_i(x,z)=E{i0}e^{−j(k{ix}x+k_{iz}z)}
\\
k_{ix}=n_ik_0sin\theta i, k{iz}=n_ik_0cos\theta _i
$$
$$
E_r(x,z)=E{r0}e^{−j(k{rx}x-k_{rz}z)}
\\
k_{rx}=n_ik_0sin\theta _r
$$
$$
E_t(x,z)=E{t0}e^{−j(k{tx}x-k_{tz}z)}
\\
k_{tx}=n_tk_0sin\theta _t
$$
考虑到折射面在界面的位置x处为透射波添加了一个附加相位$\Phi(x)$,折射波在z=0处满足：
$$
E_t (x,0) \propto e^{−jk_{tx}x}e^{j\Phi (x)}
$$
而入射侧在z=0处满足$E_i (x,0) \propto e^{−jk_{ix}x}$,为了满足边界条件，有入射侧与折射侧对x的变化率匹配。即：
$$
\frac{d}{dx}\left( −k{ix}x \right) =\frac{d}{dx}\left\{ −k{tx}x+\Phi (x) \right\}
$$
在经过两边求导后有：
$$
k{t,x}-k{i,x}=\frac{d\Phi}{dx}
$$
到这里便出现了我们昨天最后得到的一个很熟悉的式子，即广义斯涅尔定律的动量匹配模式。此时只需代入$k_{ix}=n_ik_0sin\theta i$和$k{tx}=n_tk_0sin\theta _t$两个式子，便可得到广义斯涅尔定律的折射表达式：
$$
n_t sin \theta{t}-n_i sin \theta{i}=\frac{\lambda_0}{2\pi} \frac{d\Phi}{dx}
$$
对于反射的情形，同样考虑到在界面为电磁波附加了一个额外相位，对于反射波而言，其电矢量应当在z=0处满足以下形式：
$$
E_r (x,0) \propto e^{−jk_{rx}x}e^{j\Phi (x)}
$$
那么它与入射波的匹配就满足这样的式子：
$$
\frac{d}{dx}\left( −k{ix}x \right) =\frac{d}{dx}\left\{ −k{rx}x+\Phi (x) \right\}
$$
也即:
$$
k{rx}-k{ix}=\frac{d\Phi}{dx}
$$
经整理即可得到广义斯涅尔的反射形式：
$$
sin\theta_r-sin\theta_i=\frac{\lambda_0}{2\pi n_i}\frac{d\Phi}{dx}
$$
